太阳也有潮汐力？《张朝阳的物理课》计算太阳引力对地月系统的影响

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除了月球，太阳对地球也有潮汐力吗？太阳对月球绕地球的运行有何影响？4月29日12时，《张朝阳的物理课》第四十九期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，进一步分析月球引力势场和离心势场每一项的意义，并估算了地球自转对海水高度的影响。随后将之前计算月球潮汐的公式套用到太阳上，发现太阳的潮汐作用约为月球的一半，并更加仔细地分析了在地月系统的运动中太阳引力的影响。

地球自转影响海水高度 效应虽强却与潮汐无关

上节课已经求出月球引力势场和离心势场的总和为：

其中M是地球与月球的总质量，m2为月球的质量，R为地球半径，r是地月中心距离，θm是地心到观察点的连线与地月中心连线的夹角，θe是地心到观察点的连线与地球自转轴的夹角。第一项与坐标θm和θe均无关，只是个势能零点，不贡献力。而第二项就是导致潮汐力的势场，上节课通过计算其等势面得到它引起的海水高度的变化量为：

其中m1是地球质量，由于我们只关心海水高度的变化，所以之后都忽略基准高度值。

但势能中的第三项也会影响海水的高度，而且实际上影响还不小。为了分析第三项产生的原理，将它写成如下形式：

由于之前要求地球在我们建立的地月旋转参考系中保持相对静止，这说明除了地球与月球互相绕着对方以角速度ω公转之外，地球还有以角速度ω的自转，这与地球月球都平动地绕对方旋转不同。

再联系之前推导过的离心势能的表达式，可以知道上面讨论的第三项正是地球由于角速度ω的自转导致的离心势能。为了更加仔细地考察第三项的影响，我们可以像之前计算潮汐高度那样，利用等势面算出该项所引起的海水高度的变化量：

将第三项与第二项作比较，由于地球质量是月球质量的81倍，那么由于地球以月地公转角速度ω的自转引起的海水高度变化，是潮汐高度变化的81/3倍。但从hem的表达式看，该项引起的海水高度变化量只与地球的纬度有关，随着经度不会改变。

我们待在地球表面上看到潮水高度的变化是由于地球快速自转（不是公转角速度的自转）引起的。在自转过程中，若海水高度随经度有变化我们将看到潮起潮落，反之则看不到。所以第三项不贡献随地球表面自转的参考者所看到的潮汐。即使第三项比第二项大几个量级，在计算潮汐高度时依然可以忽略掉第三项。

刚刚也提到了，对于地球而言，除了上述由于公转参考系引起的缓慢自转，真正导致潮汐现象的是地球一天一圈的快速自转，相应的角速度Ω=27.3ω，那么快速自转的离心势能是第三项的(27.3)^2倍，所导致的高度变化为：

可以看到快速自转导致的海水高度变化远远大于潮汐高度。但同样的道理，它只随纬度变化，所以跟随地球表面自转的观察者感觉不到此现象。需要说明的是，这里自转导致的高度变化只是简单估算，实际上此量级的形变会导致地球表面不同纬度的重力场产生变化，准确的计算需要考虑此差别。

太阳引力对地月系统的作用 引起潮汐却不影响相对运动

地球除了受到月球的引力，还受到太阳的强大引力。同样的道理，可以写出太阳引力导致的潮汐高度的变化公式：

为了估算它的量级，我们将太阳和月球各自引起的潮汐高度做比值：

太阳引力导致的潮汐效应大约是月球的一半，当月球处在太阳与地球的连线上时，日月引力相互叠加，地球上的潮汐现象最强。当月球继续转过90度时，月球引起的潮汐效果将被太阳的作用抵消一大半，此时地球的潮汐现象最弱。

于是我们可以发现，太阳引起的潮汐作用相比于月球依然不可忽略，说明太阳的引力对地月系统其实仍有非常大的影响。但我们知道前面推导地月系统公转的时候，太阳的引力并没有出现在相对运动公式中，为此，我们再来仔细看看太阳的引力是如何在推导相对运动公式的过程中消失的。

（张朝阳计算太阳引力的潮汐高度并与月球的效应作对比）

设地球质量为m1，位置矢量为r1，地球受到的太阳引力为矢量f1、受到的月球引力为矢量g21，那么由牛顿第二定律可以得到地球的运动方程：

先前已经推导出地月系统的质心运动只与太阳的引力有关，设太阳对月球的引力为矢量f2：

而地球相对于系统质心的位置是：

上式对时间求二阶导数，结合牛顿万有引力的具体表达式，并利用地球的运动方程以及质心的运动方程可得：

上面公式的第二项为月球引力项，而太阳的引力全部化归到第一项中。其中，根据牛顿万有引力公式太阳对地球和月球的引力分别为：

具体将太阳对地球和月球各自的引力的表达式代入太阳引力项（第一项）中，考察其大小量级并化简得到：

同理利用牛顿万有引力公式，可以得到月球引力项的大小：

对比太阳引力项与月球引力项化简后的表达式可以知道，月球引力项为太阳引力项的(ω/ωs)^2=13^2=170倍，所以太阳引力项可以忽略不计，于是就得到公式：

若我们进一步定义约化质量为：

那么上式可以化为：

此即我们最开始推导出的地月相对运动方程，这说明虽然太阳的引力很大不可忽略，但它的一阶效应并不会进入到地月相对运动部分，同时也说明太阳的引力对地月在此质心系下的运动并没有很大影响，这给我们计算月球对地球的潮汐效应带来很大的方便。

（张朝阳计算太阳引力对相对运动方程的影响）

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