陀螺仪为什么能定位方向？《张朝阳的物理课》讨论飞轮进动的原理

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地球引力对空间站里的宇航员有影响吗？飞轮受到重力为什么不会掉下来？5月1日12时，《张朝阳的物理课》第五十期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，类比上节课计算太阳引力对地月相对运动的影响，计算了地球引力对空间站里两位宇航员相对运动的影响，并指出两者的区别与联系。最后回到角动量定理的应用上，介绍了飞轮进动的原理，并说明了为什么陀螺仪可以用来定位方向。

地球引力对空间站中两位宇航员的影响

上节课计算了地月相对运动方程中太阳引力的影响，发现太阳引力对相对运动的贡献是地月引力的170分之一，一般可以忽略不计。同样道理，我们也可以用相同的方法，研究地球对空间站中两位宇航员的相对运动的影响。但两位宇航员之间的引力非常小，故地球引力对其相对运动的影响不可忽略，需要利用类似上节课的计算方法先将它求出来。

设空间站中的两位宇航员分别用数字标记，称为“1号”和“2号”，其质量分别为m1与m2，位置矢量分别为为矢量r1与矢量r2。进一步设1号受到的地球引力为矢量f1、1号受到2号的引力及其它相互作用总和为矢量g21，那么由牛顿第二定律可以得到1号的运动方程：

先前已经推导得知，两体系统的质心运动只与合外力有关，设地球对2号的引力为矢量f2则有：

而1号相对于系统质心的位置是：

上式对时间求二阶导数，并联合1号的运动方程以及质心的运动方程可得：

上面公式的第二项为两位宇航员之间的相互作用项，而地球的引力则全部化归到第一项中。其中，根据牛顿万有引力公式，地球对1号和2号的引力分别为：

假设1号与2号的连线垂直于二者整体的质心到地球中心的连线，具体地，将地球二者各自的引力的表达式代入地球引力项（第一项）中并化简：

将上述结果带回相对运动加速度的表达式可得：

若我们进一步定义约化质量为：

那么上式可以化为：

上式即为空间站两位宇航员的相对运动方程，右边第一项是地球引力的作用。由于这里只涉及一个角速度，故可略去下标，简记为ω。考虑到空间站一天绕地球约16圈，其中角速度值为ω=2π×16/(24×3600)=1.16×10^-3 rad/s。若两位宇航员之间除引力之外没有其它相互作用，那么上式等号右边的力g21特别小,相对于第一项可忽略不计，于是上式成为质量为μ、弹簧弹性系数k=μω^2的谐振子的运动方程。

这说明两位宇航员在空间站内会因为地球的引力而有相对运动。但我们若在相对于地球中心保持静止的惯性参考系中进行分析，会发现两位宇航员以及空间站都以ω的角速度绕着地球旋转，他们之间应该保持相对静止，怎么会遵循谐振子的运动方程呢？这似乎与上面推导的相对运动公式相互矛盾。

实际上，在与地球中心相对静止的惯性参考系里看，两位宇航员的连线始终垂直于质心到地球中心的连线，但其质心是绕着地球转的，所以质心与地球的连线也是以ω旋转的。因此，虽然两位宇航员之间连线的长度不变，但也是以ω旋转的，即若我们保持空间站是平动的，将明显看出两个位宇航员在空间站中以角速度ω绕着质心转圈，这正好符合前面推导得到的谐振子相对运动公式，并没有矛盾。

（张朝阳计算地球引力对空间站里二体系统的影响）

飞轮的进动与陀螺仪的稳定性

如下图所示，飞轮的转轴被一个支点水平架起，并且飞轮绕着转轴快速旋转：

（张朝阳手绘悬挂起来的飞轮）

设旋转导致的角动量方向从支点处沿转轴水平指向外，大小为L。由于飞轮受到重力作用，且一端固定，会将飞轮往下拉并使得转轴与水平方向有个小的夹角∆θ，那么此时飞轮具有指向下的角动量分量L∆θ。根据刚体角动量定理，角动量随时间的变化率等于物体所受的合外力矩，即τ=dL/dt，所以对于图中场景，但若要产生此竖直向下的角动量变化L∆θ，则需要竖直向下的力矩，力矩等于位置矢量与重力的外积，根据叉乘运算的右手螺旋定则，这对应于需要垂直于纸面指向外的力。

但实际上并没有这个力维持飞轮向下方向角动量的稳定产生，那么由于这个垂直于纸面指向外的力的缺失，导致飞轮垂直于纸面指向里运动。此时飞轮将绕着支点沿着水平方向旋转，那么微小时间内角动量将有一个水平小分量，这与重力矩的方向一致，但飞轮的水平小分量比此微小时间内的重力冲量矩要大，即重力需要再更大才可以完全提供飞轮的水平小分量。

由于重力不够大让飞轮稳定产生水平小分量，飞轮就反重力方向往上抬高，所以重力不会无限制得把飞轮往下托。最终形成的运动就是飞轮绕着支点在水平面上逆时针旋转，此即“进动”，同时在旋转的过程中上下摆动。这是一个比较反直觉的效应。飞轮虽然持续受到重力的影响，但不会如同单摆那样直接往下掉，而是绕着水平方向腾空旋转。

张朝阳还说由于各种摩檫力等阻尼的原因，飞轮的上下摆动最终会消失，只剩下绕支点的进动。那么飞轮角动量的变化正是沿着重力矩方向水平变化，利用角动量定理可以马上得出角动量随时间的变化率，进而得出飞轮进动角速度。

（张朝阳讲解飞轮进动原理）

关于角动量的应用，陀螺仪是个很好的例子，它可以用来定位方向。陀螺仪中的物体绕轴高速旋转，从而具有非常大的角动量。若陀螺仪在较短时间∆t内受到力矩τ的外来扰动，导致的角动量变化τ∆t 相比角动量L非常小，那么角动量方向θ的改变量∆θ=τ∆t /L也就非常小，从而陀螺仪的指向几乎不受扰动，稳定性极高。

当周围存在较大的磁场干扰，比如在一些矿洞中，指南针会失效，这时就可以用陀螺仪代替指南针来定向。另外，在广袤的宇宙中要想比较精确地定位方向，也需要用到陀螺仪。中国空间站“天和”核心舱里就装载了六个高速旋转的大铁球作为陀螺仪来定向。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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